Analyse Hamonique Non-Commutative sur Certains Espaces by Ronald R. Coifman, Guido Weiss (auth.)

By Ronald R. Coifman, Guido Weiss (auth.)

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Dams l'espace ~_i o ~(k) k (p , xn) = p(~) quel que soit p(Z). pE ~(k) Donc Zz(x ) = H(xkn). Lp(x) = p(D) I I le polynSme zonal relatif an p61e Sip apl~rtient ~ est facile h trouver: ~, Z~(x) = H ( ( x . ~ k ) . pour tout polyn~me p (nest suppos4 sup6rieur ~ 2) : L Ixln-2 con~nute avec les rotations (*). a)k, oh sentation a S appartient h de Cn, Cu. soit aECn, que, si ~ ( x ) = a ~(~) consid4r6 le sous-espace engendr4 par les polyn6mes de la forme Ce sous-espace est invariant sous l'action de la repr6- ~J(n) 6tudi6e darts le paragraphe I.

U SNous ~k) invariant sous l'action de {0}. , en) = i@1 e(@) l a matrice die4onale 4tant donn4, soit CA......... , en, la matrice dens la base PtLisque 1~u = SuP et e (~) aiagonale. @ pa. SuP Pa = ~ ' = a un 414ment u e i P ' ' PpaP~" p ~ a : lamatrice (%~), (f~a) est on en d6dui¢ i/mn4diate- p~ • Ii suffit done de trouver, tel que le coefficient sol% non nul pour en d4duire que • i ~p(k) {p~) de £SUP~ = ~'~EA Ppaeia'eP~ ......... e e(@), (~ ial@1 al Jan e n a n )e zI . . e zn ia matrice de P ~(k) qui ne soit ni nulle ni l'identit4 et telle que a l l o n s montrer que ceci est impossible.

Y')f(y')dy', J, ~_1 Exemple 2. L oh k est une fonction num4rique sur [-1,1]. est la transformation de Fourier dans R n : ^ ~ (z(l*l)z{*')) (y) = &(lyl)z(y') si z,nk st . ' = ~ , y' = ~ y . On peut montrer que : 2-n f (r)Jk~(2,tr)rn/2dr. = ~kpnt 0 Si de deer6 YE~ alors 2j-2, d'expliciter donc 2 (LjY)(x) = fk,j(Ix[)Y(x). %j(Ix]) = ~k,jlx122-2. les constantes I~ fonction Un calcul direct va nous permettre Ak, j - supposons que A ( I . I 2J z ( ~ ) ) = 2j(2j+n-2)lxl2J-ZZ(x) fk,j dolt 6tre homogAne YE ~ ( k ) + 4jlxl 2j-2 ~ alors x i 4~..

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