An elementary theory of Eisenstein series by Kubota T.

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Es ist Z−1 = Kern ∂0 = NG A ((−1)-Kozykeln), R−1 = Bild ∂−1 = IG A ((−1)-Koränder). Wir erhalten also H −1 (G, A) = NG A/IG A (vgl. hierzu §1, S. 6). Die Gruppe H 0 (G, A). Es ist Z0 = Kern ∂1 = AG (0-Kozykeln), R0 = Bild ∂0 = NG A (0-Koränder). 18 Teil I. Kohomologie der endlichen Gruppen Wir erhalten H 0 (G, A) = AG /NG A, die Normrestgruppe des G-Moduls A; sie steht in der Klassenkörpertheorie im Vordergrund des Interesses. Die Gruppe H 1 (G, A). Die 1-Kozykeln sind die Funktionen x : G → A mit ∂2 x = 0, also mit der Eigenschaft x(στ ) = σx(τ ) + x(σ) für σ, τ ∈ G.

Es ist δ(a ∪ b) = δa ∪ b für a ∈ H (G, A ), b ∈ H (G, B). h. es ist δ(a ∪ b ) = (−1)p (a ∪ δb ) für a ∈ H p (G, A), b ∈ H q (G, B ). 12) a bzw. b bzw. a ⊗ b bedeutet wie üblich die Kohomologieklasse a = a + NG A bzw. b = b + NG B bzw. a ⊗ b = a ⊗ b + NG (A ⊗ B) des Elements a ∈ AG bzw. b ∈ B G bzw. a ⊗ b ∈ (A ⊗ B)G . 50 Teil I. Kohomologie der endlichen Gruppen Das Erscheinen des Faktors (−1)p im letzten Diagramm ist zwangsläufig und beruht, wie wir sehen werden, auf der Antikommutativität des Verbindungshomomorphismus δ.

Sei aq+1 ∈ Kern iq+1 , so dass iaq+1 = ∂bq für ein bq . Setzen wir cq = jbq , so ist cq wegen ∂cq = ∂jbq = j∂bq = jiaq+1 = 0 ein Kozykel und aq+1 = δq cq ∈ Bild δq . Es ist also Bild δq ⊇ Kern iq+1 . Damit ist die Exaktheit der Kohomologiesequenz bewiesen. Wir haben schon bei der Einführung der Kohomologiegruppen hervorgehoben, dass die Bildung einer vollständigen freien Auflösung von G zu einer Zusammenfassung der Homologie- und der Kohomologiegruppen führt. Der wesentliche Aspekt dieser Tatsache liegt nicht so sehr in der Vereinheitlichung der Bezeichnungsweise, als vielmehr in der sich von −∞ bis +∞ erstreckenden die Homologie- sowie die Kohomologiegruppen umfassenden exakten Kohomologiesequenz.

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