Algebraische Geometrie: Eine Einführung by Markus Brodmann

By Markus Brodmann

Diese Einführung in die algebraische Geometrie richtet sich an Studierende mittlere und höhere Semester. Vorausgesetzt werden lediglich die im ersten Studienjahr erworbenen Grundkenntnisse. Ausgehend von den affinen Hyperflächen werden beliebige affine und schliesslich projektive Varietäten untersucht. Die benötigte Algebra wird dabei laufend entwickelt. Schwerpunkte des Buches sind die Dimensions- und Morphismentheorie, die Multiplizitätstheorie sowie der Gradbegriff. Zahlreiche Beispiele sollen dem Leser helfen, sich über die konkrete Bedeutung des Stoffes klarzuwerden.

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Technische Mechanik: Band 1: Statik

 Der Band Statik ist der erste Teil des vierb? ndigen Lehrbuches ? ber Technische Mechanik f? r Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen. Ziel des Werkes ist es, das Verst? ndnis der wesentlichen Grundgesetze der Mechanik zu vermitteln und die F? higkeiten zu entwickeln, mit Hilfe der Mechanik Ingenieurprobleme zu formulieren und selbst?

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15) 0 folgt ~ /JA (1)::;; Grad (f). 16) Definition: SeifE C[z" ... cn eine Gerade undp E L. Dann definieren wir die Schnittvielfachheit von L mit X in pals: /Jp(X· L) : = min {/Jp (g. L) I gEl (X)}. 17) Satz: istfE C[ZI' ... cn eine Gerade und pEL, so gilt: /Jp(X. L) = /J p (f. L). 6). 14) (iii). 0 37 4. 18) Korollar: Sei n> 1, und seifE C[z], ... J-if) > 1. Dann gilt fur jede Gerade L r:;;. J-p(X . J-if . L). 8) haben wir gesehen, dassfunter den gemach0 ten Voraussetzungen quadratfrei ist. 17).

Der Punkt p = 0 E X spielt also fiir das Polynom f eine besondere Rolle. die skizzierte Schlaufenform. In dieser spielt - dem Augenschein nach - der Punkt 0 tatsachlich eine besondere Rolle. -\ Wir wollen nun das Konzept der Vielfachheit einer Hyperftache X = X(f) in einem Punkt p definieren, das es uns erlaubt, Beispiele wie das soeben betrachtete zu verstehen. Zunachst fiihren wir eine Notation ein. 11£ iC[z}, ... 2) /(X) /(0) = {g E iC[z}, ... , zn] I g(X) = O} falls X = iC[z}, ... II £ /(X).

Ji p (X) = Ji p (J), zn]-{O} quadratfrei und X= V(J), so gilt (p EX). Beweis: Es genugt zu zeigen, dass Jiig) ~ JiiJ) fUr alle g E I(X). 5) kannen wir jedes solche g schreiben als g = J h. 12) (iv). 7) Lemma: SeiJE C[Zj, ... , zn]-{O} so, dass Sing{J) :={p E I JiiJ»1} keine Hyperfiache V(h) (h E C[Zj' ... , zn], Grad (h) >0) enthalt. Dann ist J quadratfrei. Beweis: Nehmen wir das Gegenteil an. Dann giltJ=h2 g, wo g, hE C[ZI' ... , zn] Polynome mit Grad (h) > 0 sind. Sei p E V(h). Uber die Produktregel fur Ablei2 tungen folgt 'OJ (p)= 'Oh g (P)=h(P) 'Oh g (P) + h(P) g (P) 'Oh (P)=O (i= 1, ...

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