Algebraische Geometrie by Daniel Plaumann

By Daniel Plaumann

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KOORDINATENRINGE UND DIE ALGEBRO-GEOMETRISCHE KORRESPONDENZ 35 ein Element von k[V ]. Dies definiert einen Homomorphismus von k-Algebren φ# ∶ { k[W] → k[V ] g ↦ g○φ zwischen den Koordinatenringen in umgekehrter Richtung. Die Funktion φ# (g) ∈ k[V ] entsteht also ’durch Zurückziehen’ von V nach W mittels φ. 50. Kommen wir zurück auf die Neilsche Parabel. Betrachte die Abbildung φ∶ { A → A , t ↦ (t  , t  ) mit Bild C = φ(A ) = V(x  −y  ). Dazu gehört der Homomorphismus von k-Algebren φ# ∶ k[C] → k[t].

Am Schluss müssen wir noch alle so erhaltenen Lösungen darauf überprüfen, ob die verbleibenden Polynome g n+ , . . , gr in ihnen verschwinden. Dieser Algorithmus ist wieder nur eine Skizze und kann für die Praxis erheblich verbessert werden. Er bringt aber in jedem Fall gewisse Schwierigkeiten mit sich: Erstens ist es schon mit dem Lösen von Gleichungen in einer Variablen nicht so einfach, wie wir aus der Algebra wissen; solche Lösungen lassen sich eben nicht immer durch Wurzelziehen hinschreiben.

Wir führen Induktion nach n. Für n =  ist die Aussage klar, denn jede nichtleere Teilmenge von Z+ enthält ein eindeutiges Element, also ∣Tmin ∣ = . Sei n ⩾  und die Aussage gelte für kleinere n. Für k ⩾  setze U k = {t ′ ∈ Z+n− ∶ (t ′ , k) ∈ T} und U = ⋃ Uk k⩾ Nach Induktionsvoraussetzung sind die Mengen Umin und (U k )min alle endlich. Insbesondere gibt es ein m ⩾  mit Umin ⊂ U ∪ ⋯ ∪ U m . Setze m S = ⋃ ((U k )min × {k}). k= Dann ist S eine endliche Teilmenge von T und wir behaupten, dass sie die gewünschte Eigenschaft hat.

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